보르수크-울람 정리

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1. 개요
2. 정의
3. 역사
4. 동치 명제
- 4.1. 기함수
- 4.2. 되돌림(Retraction)
5. 증명
- 5.1. 1차원 경우
- 5.2. 일반적인 경우
  - 5.2.1. 대수적 위상수학적 증명
  - 5.2.2. 조합론적 증명
6. 따름정리(결과)
7. 동치인 결과들
8. 일반화
참조

1. 개요

보르수크-울람 정리는 임의의 연속 함수 f: S^n → R^n에 대해 f(x) = f(-x)인 점 x가 존재한다는 정리이다. 이 정리는 스타니스와프 울람이 추측하고 카롤 보르수크가 1933년에 증명했으며, 기함수, 되돌림, 터커의 보조정리 등과 동치 명제를 갖는다. 1차원 경우의 증명은 중간값 정리를 사용하며, 일반적인 경우 대수적 위상수학 또는 조합론적 증명이 가능하다. 이 정리의 따름정리로는 R^n의 어떤 부분 집합도 S^n과 위상 동형이 아니라는 것과 햄 샌드위치 정리가 있다. 보르수크-울람 정리는 일반화될 수 있으며, 대칭 부분 집합의 경계 또는 리만 다양체에서도 성립한다.

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2. 정의

연속함수 $f\colon S^n\to\mathbb R^n$ 에 대하여,

: $f(x)=f(-x)$

인 점 $x\in S^n\subset\mathbb R^{n+1}$ 이 존재한다. 여기서 $-x$ 는 $x$ 의 대척점이다.

3. 역사

이 정리는 스타니스와프 울람이 추측했고, 카롤 보르수크가 1933년에 증명했다.^[12]

4. 동치 명제

다음 명제들은 보르수크-울람 정리와 동치이다.^[2]

4. 1. 기함수

어떤 함수

g

가 모든

x

에 대해

g(-x)=-g(x)

를 만족하면, 이 함수를 "기함수"(또는 "대척점", "대척점 보존" 함수)라고 부른다.

보르수크-울람 정리는 다음과 같은 명제와 동치이다:

n

차원 구에서 유클리드 공간

n

차원으로의 연속적인 기함수는 영점을 갖는다.

이에 대한 증명은 다음과 같다:

만약 보르수크-울람 정리가 참이라면, 기함수에 대해서도 참이어야 한다. 기함수의 경우 $g(-x)=-g(x)$ 이므로, $g(x)=0$ 인 점이 존재해야 한다. 따라서 모든 기함수 연속 함수는 영점을 갖는다.

임의의 연속 함수 $f$ 에 대해, $g(x)=f(x)-f(-x)$ 로 정의된 함수 $g$ 는 연속이며 기함수이다. 만약 모든 기함수 연속 함수가 영점을 갖는다면, $g$ 는 영점을 가져야 하고, 이는 곧 $f(x)=f(-x)$ 임을 의미한다. 따라서 보르수크-울람 정리가 성립한다.

4. 2. 되돌림(Retraction)

''되돌림''(Retraction)을 함수

h: S^n \to S^{n-1}

으로 정의한다. 보르수크-울람 정리는 다음 주장과 동등하다: 연속적인 홀수 되돌림은 없다.

증명: 만약 정리가 옳다면,

S^n

에서 모든 연속적인 홀수 함수는 0을 범위에 포함해야 한다. 그러나

0 \notin S^{n-1}

이므로 범위가

S^{n-1}

인 연속적인 홀수 함수는 존재할 수 없다.

반대로, 만약 정리가 틀리다면, 0을 갖지 않는 연속적인 홀수 함수

g: S^n \to \Bbb{R}^n

이 존재한다. 그러면 다음과 같이 또 다른 홀수 함수

h: S^n \to S^{n-1}

을 구성할 수 있다.

:

h(x)=\frac{g(x)}

g

는 0을 갖지 않으므로

h

는 잘 정의되고 연속적이다. 따라서 연속적인 홀수 되돌림을 갖게 된다.

5. 증명

중간값 정리를 사용하면 1차원 경우를 쉽게 증명할 수 있다. 함수 $g$ 를 $g(x) = f(x) - f(-x)$ 로 정의하면, 이 함수는 원 위의 홀수 실수 연속 함수가 된다. 임의의 점 $x$ 에 대해 $g(x) = 0$ 이면 증명이 완료된다. 그렇지 않고, $g(x) > 0$ 이라고 가정하면, $g(-x) < 0$ 이 된다. 따라서 중간값 정리에 의해 $g(y) = 0$ 인 점 $y$ 가 존재한다.

일반적인 경우, 보르수크-울람 정리는 다음과 같이 증명할 수 있다.

n > 2 인 경우, 홀수 연속 함수 $h: S^n \to S^{n-1}$ 에 대해, 대척점에 대한 작용 하에서 궤도로 이동하면 실수 사영 공간 사이에서 유도된 연속 함수 $h': \mathbb{RP}^n \to \mathbb{RP}^{n-1}$ 을 얻게 되며, 이는 기본군에서 동형을 유도한다.
후레비츠 정리에 의해, $\mathbb F_2$ 계수를 갖는 환 준동형 사상에 유도된 코호몰로지에서 b는 a로 보내진다. 하지만 그러면 $b^n = 0$ 이 $a^n \neq 0$ 으로 보내지게 되므로 모순이다.^[3]
임의의 홀수 사상 $S^{n-1} \to S^{n-1}$ 이 홀수의 차수를 갖는다는 더 강한 명제를 보일 수도 있으며, 이 결과를 통해 정리를 추론할 수 있다.
터커의 보조정리를 통해서도 보르수크-울람 정리를 증명할 수 있다.^[2]^[4]^[5]

5. 1. 1차원 경우

중간값 정리를 사용하면 1차원 경우를 쉽게 증명할 수 있다.

g

를

g(x)=f(x)-f(-x)

로 정의된 원 위의 홀수 실수 연속 함수라고 하자. 임의의

x

를 선택한다. 만약

g(x)=0

이면 증명이 완료된 것이다. 그렇지 않고, 일반성을 잃지 않고

g(x)>0

이라고 가정하자. 그러면

g(-x)<0

이다. 따라서 중간값 정리에 의해

g(y)=0

인 점

y

가 존재한다.

5. 2. 일반적인 경우

일반적인 경우 보르수크-울람 정리는 다음과 같이 증명할 수 있다.

n > 2 인 경우, 홀수 연속 함수 $h: S^n \to S^{n-1}$ 에 대해, 대척점에 대한 작용 하에서 궤도로 이동하면 실수 사영 공간 사이에서 유도된 연속 함수 $h': \mathbb{RP}^n \to \mathbb{RP}^{n-1}$ 을 얻게 되며, 이는 기본군에서 동형을 유도한다.
후레비츠 정리에 의해, $\mathbb F_2$ 계수를 갖는 환 준동형 사상에 유도된 코호몰로지에서 b는 a로 보내진다. 하지만 그러면 $b^n = 0$ 이 $a^n \neq 0$ 으로 보내지게 되므로 모순이다.^[3]
임의의 홀수 사상 $S^{n-1} \to S^{n-1}$ 이 홀수의 차수를 갖는다는 더 강한 명제를 보일 수도 있으며, 이 결과를 통해 정리를 추론할 수 있다.
터커의 보조정리를 통해서도 보르수크-울람 정리를 증명할 수 있다.^[2]^[4]^[5]
연속적인 홀함수 $g : S^n \to \R^n$ 에 대해, g는 콤팩트 공간 영역에서 연속이므로 균등 연속이다.
길이가 최대 $\delta$ 인 가장자리를 갖는 $S_n$ 의 삼각화를 정의하고, 각 꼭짓점 $v$ 에 라벨 $l(v)\in {\pm 1, \pm 2, \ldots, \pm n}$ 을 부여한다.
터커의 보조정리에 의해 반대 라벨을 가진 인접한 두 꼭짓점 $u, v$ 가 존재한다.
삼각화 구성에 의해 $g(u)$ 와 $g(v)$ 사이의 거리는 최대 $\epsilon$ 이므로, $|g(u)_1 - g(v)_1| = |g(u)_1| + |g(v)_1| \leq \epsilon$ 이다.
$|g(u)| \leq c_n \epsilon$ 이며, 여기서 $c_n$ 은 선택한 노름 $|\cdot|$ 과 $n$ 에 의존하는 상수이다.
위는 모든 $\epsilon > 0$ 에 대해 참이고, $S_n$ 은 콤팩트이므로 $|g(u)|=0$ 인 점 $u$ 가 존재한다.

5. 2. 1. 대수적 위상수학적 증명

h: S^n \to S^{n-1}

이

n > 2

인 홀수 연속 함수라고 가정한다(경우

n = 1

은 위에서 다루었고, 경우

n = 2

는 기본적인 덮개 이론을 사용하여 처리할 수 있다). 대척점에 대한 작용 하에서 궤도로 이동하면, 실수 사영 공간 사이에서 유도된 연속 함수

h': \mathbb{RP}^n \to \mathbb{RP}^{n-1}

을 얻게 되며, 이는 기본군에서 동형을 유도한다. 후레비츠 정리에 의해,

\mathbb F_2

계수를 갖는 환 준동형 사상에 유도된 코호몰로지에서 [여기서

\mathbb F_2

는 두 원소를 갖는 체를 나타낸다],

:

\mathbb F_2[a]/a^{n+1} = H^*\left(\mathbb{RP}^n; \mathbb{F}_2\right) \leftarrow H^*\left(\mathbb{RP}^{n-1}; \mathbb F_2\right) = \mathbb F_2[b]/b^{n},

는

b

를

a

로 보낸다. 하지만 그러면

b^n = 0

이

a^n \neq 0

으로 보내지게 되므로 모순이다.^[3]

임의의 홀수 사상

S^{n-1} \to S^{n-1}

이 홀수의 차수를 갖는다는 더 강한 명제를 보일 수도 있으며, 이 결과를 통해 정리를 추론할 수 있다.

5. 2. 2. 조합론적 증명

터커의 보조정리를 통해 보르수크-울람 정리를 증명할 수 있다.^[2]^[4]^[5]

g : S^n \to \R^n

를 연속적인 홀함수라고 가정하자. ''g''는 콤팩트 공간 영역에서 연속이므로 균등 연속이다. 따라서 모든

\epsilon > 0

에 대해,

S_n

에서 서로

\delta

이내에 있는 두 점의 ''g''에 대한 상(image)은 서로

\epsilon

이내에 있다.

길이가 최대

\delta

인 가장자리를 갖는

S_n

의 삼각화를 정의하고, 각 꼭짓점

v

에 라벨

l(v)\in {\pm 1, \pm 2, \ldots, \pm n}

을 다음과 같이 부여한다.

라벨의 절댓값은 ''g''에서 절댓값이 가장 큰 좌표의 ''인덱스''이다: $|l(v)| = \arg\max_k (|g(v)_k|)$ .
라벨의 부호는 ''g''의 부호와 같다: $l(v) = \sgn (g(v)) |l(v)|$ .

''g''가 홀함수이므로 라벨링도 홀함수이다:

l(-v) = -l(v)

. 터커의 보조정리에 의해 반대 라벨을 가진 인접한 두 꼭짓점

u, v

가 존재한다. 일반성을 잃지 않고

l(u)=1, l(v)=-1

이라고 가정하면, ''l''의 정의에 의해

g(u)

와

g(v)

모두 좌표 #1이 가장 큰 좌표이다.

g(u)

에서는 이 좌표가 양수이고

g(v)

에서는 음수이다. 삼각화 구성에 의해

g(u)

와

g(v)

사이의 거리는 최대

\epsilon

이므로,

|g(u)_1 - g(v)_1| = |g(u)_1| + |g(v)_1| \leq \epsilon

이다. (

g(u)_1

과

g(v)_1

은 반대 부호를 가지므로) 또한

|g(u)_1| \leq \epsilon

이다.

g(u)

의 가장 큰 좌표가 #1이므로, 모든

1 \leq k \leq n

에 대해

|g(u)_k| \leq \epsilon

이다. 따라서

|g(u)| \leq c_n \epsilon

이며, 여기서

c_n

은 선택한 노름

|\cdot|

과

n

에 의존하는 상수이다.

위는 모든

\epsilon > 0

에 대해 참이고,

S_n

은 콤팩트이므로

|g(u)|=0

인 점 ''u''가 존재한다.

6. 따름정리(결과)

'''R'''^''n''^영어의 어떤 부분 집합도 ''S''^''n''^영어과 위상 동형이 아니다.
햄 샌드위치 정리: '''R'''^''n''^영어에 있는 모든 콤팩트 집합 ''A''₁, ..., ''A_n''에 대해, 항상 각 집합을 같은 크기의 두 부분 집합으로 나누는 초평면을 찾을 수 있다.

7. 동치인 결과들

우리는 위에서 터커의 보조정리로부터 보르수크-울람 정리를 증명하는 방법을 보였다. 역도 또한 성립한다. 즉, 보르수크-울람 정리로부터 터커의 보조정리를 증명하는 것이 가능하다. 따라서 이 두 정리는 서로 동치이다.

세 가지 동치 변형으로 제공되는 몇 가지 고정점 정리가 있다. 대수적 위상수학 변형, 조합론적 변형 및 집합 덮개 변형이다. 각 변형은 완전히 다른 논증을 사용하여 개별적으로 증명할 수 있지만, 각 변형은 또한 행의 다른 변형으로 축소될 수 있다. 또한, 맨 위 행의 각 결과는 동일한 열에서 그 아래에 있는 결과로부터 추론될 수 있다.^[6]

8. 일반화

함수 ''f''의 정의역은 원래 단위 ''n''-구(단위 ''n''-공의 경계)이다. 일반적으로, ''f''의 정의역이 원점을 포함하는 $\R^n$ 의 열린 유계 대칭 부분 집합의 경계일 때도 마찬가지이다. 여기서 대칭은 ''x''가 부분 집합에 속하면 -''x''도 부분 집합에 속한다는 것을 의미한다.^[7]

더 일반적으로, $M$ 이 콤팩트한 ''n''차원 리만 다양체이고 $f: M \rightarrow \mathbb{R}^n$ 이 연속 함수라면, 임의의 주어진 $\delta > 0$ 에 대해 $f(x) = f(y)$ 이고 ''x''와 ''y''가 길이 $\delta$ 의 측지선으로 연결되는 점 ''x''와 ''y''가 $M$ 에 존재한다.^[8]^[9]

점을 그 대척점으로 매핑하는 함수 ''A''를 고려하면, $A(x) = -x$ 이고 $A(A(x))=x$ 이다. 원래 정리에서는 $f(A(x))=f(x)$ 인 점 ''x''가 존재한다고 주장한다. 일반적으로, 이것은 $A(A(x))=x$ 인 모든 함수 ''A''에 대해서도 참이다.^[10] 그러나, 일반적으로 다른 함수 ''A''에 대해서는 이것이 참이 아니다.^[11]

참조

_[1] 논문 On the Continuum Fallacy: Is Temperature a Continuous Function? 2023-07-30
_[2] 학위논문 Extensions of the Borsuk–Ulam Theorem Harvey Mudd College 2002
_[3] 서적 An Introduction to Algebraic Topology Springer-Verlag 1988
_[4] 논문 A constructive proof of Tucker's combinatorial lemma
_[5] 논문 Consensus-halving via theorems of Borsuk–Ulam and Tucker https://scholarship.[...]
_[6] 간행물 A Borsuk–Ulam equivalent that directly implies Sperner's lemma https://scholarship.[...]
_[7] 서적 Borsuk fixed-point theorem springer
_[8] 논문 Eine Verallgemeinerung bekannter Abbildungs-und Überdeckungssätze
_[9] 논문 Hopf-type theorems for f-neighbors
_[10] 논문 On Theorems of Borsuk-Ulam, Kakutani-Yamabe-Yujobo and Dyson, I
_[11] 웹사이트 Generalization of Borsuk-Ulam https://mathoverflow[...] Math Overflow 2015-05-18
_[12] 저널 Drei Sätze über die ''n''-dimensionale euklidische Sphäre 1933

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